今天天气很好，天很晴朗，能见度也很高。坐在窗前，看着太阳一点点沉下去，色彩变得温暖橙黄。于是想到下去骑车拍落日，顺便完成今天的运动量。
向着日落的方向骑行，没过多久便日落西山，只留下一片余晖。

感叹落日的美景与白日的结束之余，一个问题浮现在脑海：我需要至少以多快的速度追赶落日，才能追上它？

简短的答案

在地球上以 1670 km/h，或464 m/s的速度追赶落日，可以保证追上它。

这个速度上限是由地球赤道周长除以一天的时间得来的（ $40076\ \mathrm{km} / 24\ \mathrm{h} = 1670\ \mathrm{km/h}$ ）。
这个速度是 1.36 倍音速，超过了一般的民航客机巡航速度（~900 公里每小时）。

但在较高纬度以及夏季和冬季时，这个上限会变低。
另外，在水星、金星和火星上追逐日落，比在地球上更容易。

冗长的答案

前提

这个问题跟哪些因素有关呢？为了简化问题，先做以下假定，这些假定在下面的讨论中始终成立：

简化假定：

行星整体上呈球形，其直径和形状保持不变；
行星的自转速度保持不变；
行星沿圆形轨道，以恒星为中心匀速公转，其公转的角速度保持不变；
行星的轨道半径远远大于行星与恒星自身的半径；

对于太阳系的大行星来说，这些假定都没什么大问题；即使假定与事实有较小的偏离，对这个问题的讨论也不会造成太大影响。

上限估算

那么，对于半径为 $R$ ，一太阳日长度为 $T_{sol}$ 的行星来说，需要多快的速度可以追赶上落日呢？
我们现在可以给出一个速度的上限，也就是当晨昏线垂直于赤道，追逐者也在赤道上追逐太阳时所需的速度。它等于行星的赤道周长除以太阳日的长度。

v_\mathrm{max} = \frac{2 \pi R}{T_{sol}}

带入地球的赤道周长与一天的长度，就得到之前提到的上限速度 1670 km/h.

如果是小王子所在的（虚构） B612 号小行星，假设上面的一天也是24小时，小行星的半径为5米，那么小王子只需以 0.00036 米/秒的速度散步，就可以追上落日了。难怪他一天可以看44场日落！

下面是各大行星上追赶落日的速度上限。

行星	直径 (km)	太阳日(h)	赤道追及速度(km/h)
水星	4879	4222.5	3.6
金星	12104	5841.6	6.5
地球	12756	24.0	1669.8
火星	6792	24.6	867.4
木星	142984	9.9	45373.5
土星	120536	10.6	35724.1
天王星	51118	17.2	9336.7
海王星	49528	16.0	9724.8

在水星上，你可以用步行的速度追上晨昏线，虽然没有大气的日落听起来一点也不酷，但建立一座永远追逐落日、靠温差和太阳能发电的绿色可移动都市，这主意就很酷；
金星严酷的地面环境不太适合步行或观赏日落，但在硫酸云层之上的晴空，也可以乘气球尽情欣赏落日，而气球里充的甚至可以是空气（空气比二氧化碳轻，可以漂浮在金星的大气）；
在火星上，如果有朝一日能够拥有可呼吸的大气，追逐落日的航班或许就会成为航空爱好者的心头好；
在四大气态巨行星的云顶观赏日落应该非常壮观，尤其是木星色彩瑰丽的云层与土星气势磅礴的土星环，一定是太阳系十大必看景色之一。但由于其快速的自转，靠大气层内飞行器追上日落或许不太现实。

回到地球上来，可以想象，当追逐者纬度变高时，由于地面经过晨昏线的线速度减小，他不需要这么快就能追上太阳。
另外，如果行星的自转轴不是垂直于其公转轨道平面（存在转轴倾角），随着季节变化，导致晨昏线与纬线之间存在夹角，也会让追赶太阳变得容易一些。

计算

计算太阳相对运动的速度矢量

接下来，就开始计算吧。
给出以下条件：

行星自转角速度为 $\omega_r$ ，公转的角速度为 $\omega_o$ （规定自转角速度总为正，公转与自转同向时，公转角速度为正，公转与自转反向时，公转角速度为负）
行星的转轴倾角为 $\epsilon$ ，当前太阳在黄道坐标系上的黄经为 $\lambda_{sol}$ （黄纬 $\beta_{sol}$ 始终为 $0$ ）（春分点是太阳直射点位于行星赤道时太阳的位置，黄经定义为从春分点沿太阳运行方向转过的角度）
追逐者所处的纬度为 $\delta$

从追逐者的视角观测太阳，追逐者观测到的太阳的移动速度，可分解两部分：

行星自转导致天球相对地平坐标系的转动，大小为 $\omega_r \cdot \cos \delta_{sol}$ ，方向指向赤道坐标系的西方，也就是赤经减小，或时角增大的方向。
行星公转导致太阳在黄道坐标系的移动，大小为 $\omega_o$ ，方向指向黄道坐标系黄经增大的方向。

自转速度的计算

为得到第一部分分量，需要首先求出太阳的赤道坐标。黄道与赤道坐标系转换公式：

\begin{aligned} \sin \delta &= \sin \epsilon \sin \lambda \cos \beta + \cos \epsilon \sin \beta \\ \cos \alpha \cos \delta &= \cos \lambda \cos \beta\\ \sin \alpha \cos \delta &= \cos \epsilon \sin \lambda \cos \beta - \sin \epsilon \sin \beta \end{aligned}

带入太阳的黄道坐标 $(\lambda_{sol},\ 0)$ ，得到其赤道坐标：

\begin{aligned} \alpha_{sol} &= \arctan(\cos \epsilon \tan \lambda_{sol})\\ \delta_{sol} &= \arcsin(\sin \epsilon \sin \lambda_{sol}) \end{aligned}

得到了太阳的赤纬，就可以计算得到第一部分分量的大小.

观察结果，可以得到以下特征：

黄经为 $0^{\circ}$ 或 $180^{\circ}$ 时，太阳的赤纬为 $0^{\circ}$ 。这对应春分点或秋分点，太阳直射赤道；
黄经为 $90^{\circ}$ 或 $270^{\circ}$ 时，太阳的赤纬达到极值 $\pm \epsilon$ 。这对应夏至或冬至，太阳直射北回归线或南回归线。

简化问题

第二部分分量大小，可以由行星公转周期直接得出，于是问题只剩下两者的夹角。

在继续计算之前，先退一步看看，是否真的有必要计算第二部分的分量大小？

对于地球来说，其公转周期（1 恒星年，365.2422 平太阳日）远大于其自转周期（1 恒星日，23h56m4s）。因此，第一部分分量大小一般是第二部分分量的上百倍。

于是，再做一个简化假定：

假设行星绕太阳公转角速度远小于其自转角速度

在太阳系内，这个假设对于除了水星、金星以外的行星是成立的。如果考虑卫星，对应的就是其主星绕太阳公转角速度，与卫星自转角速度。这样看的话，这个假设对于月球以外的卫星也是成立的。

有了这个假设，就意味着“行星公转导致太阳在黄道坐标系的移动”在问题讨论范围内可以忽略不计，而太阳的运动几乎完全由行星自转造成，其运动可以认为是在赤纬圈上绕地轴旋转。

这里也对感兴趣的读者附上公转与自转方向夹角的计算过程。

点击展开/收起：公转与自转方向夹角的计算

通过太阳的赤经圈、黄道圈与赤道圈三者组成一球面三角 $ABC$ ，其中：

$A$ 点为春分点；
$B$ 点为赤经圈与赤道圈交点；
$C$ 点为太阳所在位置，即赤经圈与黄道圈的交点。

根据已有条件：

$c = AB = \alpha_{sol}$
$a = BC = \delta_{sol}$
$\angle A = \epsilon$
$\angle B = 90^{\circ}$

结合球面三角公式得出：

\begin{aligned} \cos C &= - \cos A \cos B + \sin A \sin B \cos c \\ &= \sin \epsilon \cos \alpha_{sol} \end{aligned}

两个速度矢量组成矢量三角形 $DFG$ ,其中：

分矢量 $g = DF$ 为自转的速度矢量；
分矢量 $d = FG$ 为公转的速度矢量；
希望求解合矢量 $f = DG$ 的大小与方向

则 $\angle F = 90^{\circ} - C$ ，分矢量的大小和方向已在上面阐述。

由于速度是位移的一阶导数，可用平面近似，下面使用平面三角公式求解。
由余弦公式：

\begin{aligned} \omega^2 = f^2 &= g^2 + d^2 - 2 g d \cos F \\ &= \omega_o^2 + \omega_r ^2 \cos^2 \delta_{sol} - 2 \omega_o \omega_r \ \sin C \\ \end{aligned}

由正弦公式，速度方向与赤道坐标系上正西方向的夹角 $\angle D$ 为：

\begin{aligned} \frac{d}{\sin D} &= \frac{f}{\sin F} \\ \sin D &= \frac{d \sin F}{f} \end{aligned}

计算追及太阳的最小速度

得到了太阳在天空运动的角速度，乘以行星半径 $R$ ，就得到了在地面上抵消其运动所需的速度了。

那么，问题完美解决了，不是吗？

其实还可以进一步优化，因为“追上落日”并不完全等同于“抵消太阳在天空中的运动”。
只要保持太阳在地平线以上，我们就可以一直欣赏到落日的美景了。
也就是说，我们要找的，是太阳运动垂直于地平线的分量。用我们自身的运动抵消这一分量，就能使太阳一直在地平线上了。

让我们整理一下已知条件：

已知：太阳的高度角为 $0^{\circ}$
已知：观测者所处纬度为 $\delta$
已求得：太阳的赤经赤纬 $\alpha_{sol},\ \delta_{sol}$

于是由赤道圈、经过太阳的赤经圈、地平圈作出球面三角形 $JKL$ ，其中：

$J$ 是赤道圈与地平圈的交点；
$K$ 是地平圈与赤经圈的交点；
$L$ 是赤道圈与赤经圈的交点；

根据已有条件：

$\angle J = 90^{\circ} - |\delta|$ ，即观测者所处纬度绝对值的余角；
$\angle L = 90^{\circ}$
$j = KL = \delta_{sol}$ ，即太阳的赤纬。

求得

\begin{aligned} \sin K &= \frac{\cos J}{\cos j} \\ &= \frac{\sin |\delta|}{\cos \delta_{sol}} \end{aligned}

太阳落下的速度方向垂直于赤经圈向下，其大小为

\begin{aligned} \omega_{\perp} &= \omega \cdot \cos K \\ &= \omega_r \cdot \sqrt{\cos^2 \delta_{sol} - \sin^2 |\delta|} \end{aligned}

观察上面的结果，可以得到：

当 $|\delta| > 90^{\circ} - |\delta_{sol}|$ 时， $K$ 没有实数解。这对应了极昼或极夜的场景，太阳不升起或不落下；
$\delta_{sol}$ 不变时， $\cos K$ 随 $\delta$ 增大单调减小，即观测者纬度绝对值越大，太阳越是“斜着”落下去，其垂直地平的分量越小；
$\delta$ 不变时， $\cos K$ 随 $|\delta_{sol}|$ 增大单调减小。即太阳的赤纬绝对值越大，其垂直地平的分量越小。

让我们计算一下，2024 年 2 月 29 日，在北纬 40 度的北京，需要多快才能追上日落？
询问 WolframAlpha 可得，当天太阳的赤纬为 $-8.3^{\circ}$ ，于是我们需要 $0.752 \times 1670\ \mathrm{km/h} = 1256 \ \mathrm{km/h}$ 的速度，才能追上当天的日落。
看来当天的日落只能乘坐超音速战斗机才能追上了。

在冬至日或夏至日，太阳的赤纬达到最大（ $\pm 23.4^{\circ}$ ）。
此时纬度至少要 $47.9^{\circ}$ ，才能使得逐日所需的速度小于 900 公里每小时。
作为参考，伦敦（ $51.5^{\circ}N$ ），巴黎（ $48.9^{\circ}N$ ）、莫斯科（ $55.8^{\circ}N$ ）的纬度都高于这个值。
在这些城市，或许真能坐上追逐落日的航班！

小强的开发笔记

你需要多快，才能追上今天的落日？